Farbberechnungen zu gegebenen Pigmentremissionskurven und ihre Erstellung Untersuchungen zur Metamerie

[mit MathML]
Summary: This article describes how harmonic analysis can be used to generate spectral profiles of metameric colors or other specific color categories, even in large numbers.

Für die Bestimmung der Farbwerte eines Pigmentes bezüglich der Eichreize X,Y,Z des Normvalenzsystems sind drei Verfahren in Anwendung - das Helligkeitsverfahren, das Gleichheitsverfahren und das Spektralverfahren. Wir wollen hier davon ausgehen, das die Remissionskurve des Pigmentes über den ganzen sichtbaren Spektralbereich aufgenommen wurde. Diese Werte werden in der Regel alle 5 oder 10 nm von etwa 380nm bis 760 nm gemessen. Diese wellenlängenabhängigen Werte seien β λ . Die Farbwerte des Pigmentes werden dann ermittelt:
X E = ∫ 380 760 β 1λ ⋅ x ¯ ⋅ E E ⋅dλ Y E = ∫ 380 760 β 1λ ⋅ y ¯ ⋅ E E ⋅dλ Z E = ∫ 380 760 β 1λ ⋅ z ¯ ⋅ E E ⋅dλ x ¯ , y ¯ ,z¯   sind die Normspektralwerte, E ist die Lichtfunktion (hier Normlicht E)
Kurve Grau X=Y=Z=33.33
Remissionsfunktion Grau Y=33.33
zweites Grau 33.33
Remissionsfunktion andres Grau Y=33.33
 Pigment X=68 Y=18 Z=20
Remissionsfunktion synthetisches Pigment mit X=68 Y=18 Z=20

Diese Remissionsfunktion entspricht nicht einem wirklich gemessenen Pigment, sondern wurde durch Rechnung synthetisch erzeugt um die Farbwerte X=68 Y=18 und Z=20 zu erzeugen. Wenn es möglicherweise auch eine ähnliche Remissionskurve bei einem echten Pigment geben könnte, so darf die dabei vorkommende
Remission weder kleiner Null noch größer 1 sein, wie es aber hier der Fall ist. Man kann aber rechnerisch die Remissionskurve größenmäßig anpassen und vertikal verschieben,damit diese Bedingungen erfüllt werden.
Leider verändern sich damit die Farbwerte des Pigmentes, für die die Remissionskurve ursprünglich berechnet wurde. Viele werden fragen,wozu diese synthetischen Farbremissionen und ihre Berechnung gut sein sollen.
Für wissenschaftliche Untersuchungen an allen möglichen Farben oder Teilen davon, z.B. am Nyberg-Farbkörper werden grosse Mengen Farben mit ihren Remissionskurven benötigt, die bestimmten Bedingungen entsprechen. Es werden z.B. Pigmente mit ihren Remissionskurven gesucht, die die gleiche Helligkeit oder Farbreinheit besitzen. Durch Messung tatsächlicher Farbpigmente ist diese Zahl (z.B. mehr als 100000) benötigter Farben wohl nicht zu erhalten. Deshalb können und werden diese Farbenmengen durch Rechnung erzeugt und haben dazu noch bestimmte gesuchte Eigenschaften. Es gibt schon eine Reihe bekannter Methoden dazu. Beschrieben sind diese im Buch: "'Color Science' von Wyszecki und Stiles 2.Auflage, ab Seite 183, 3.8. Metameric color stimuli , insbesondere Absc hnitt 3.8.2". Ich beschreibe in diesem Artikel ein anderes Verfahren, das von vornherein Kurven mit glattem Verlauf erzeugt und damit den natürlichen Farbstoffen ähnlicher ist, die einen stetigen Verlauf haben. Ich wende zu dem beschriebenen Zweck die Methode der Harmonischen Analyse an. In der jetzigen Form beruht das Verfahren auf die Einteilung des Wellenlängenbereichs 380nm bis 760nm in 12 Teile entsprechend der Bereich 0 bis 2Pi in 12 äqidistante Abschnitte. Ich habe diese Zahl gewählt als Kompromis zu den oft verwendeten 30 Werten . Bei der Berechnung nach der sogn. Auswahlordinatenmethode werden 30 in der abgespeckten Version 10 Ordinaten verwendet, um die Farbmaßzahlen zu einer Remissionskurve zu ermitteln. 12 Ordinaten sind so ein Kompromis auch in Bezug auf den Umfang der Rechnungen. Es werden für jede zu erzeugende Remissionskurve 12 harmonische Koeffizienten benötigt. Bei 30 Ordinaten wären es 30 Koeffizienten. In der verwendeten Form entsprechen dem Bereich 2Pi die 380nm von 380nm bis 760nm. Es wird aber hauptsächlich mit der Periode 2Pi statt mit dem Wellenlängenbereich gerechnet und erst später darauf bezogen. Für die Erstellung einer solchen Remissionskurve soll jetzt ein Beispiel folgen. Zu Anfang werden 12 Ordinaten durch Zufallauswahl von Zahlen im Bereich 0 bis 1 (Remission) ermittelt. Sie werden in der Reihe des Auftretens gleichmäßig auf den Bereich 0...2Pi verteilt. Die 13. Ordinate ist identisch mit der 1. Das ist keine Einschränkung prinzipieller Art, sondern ist die Voraussetzung für die Harmonische Analyse, die auch gleichzeitig der Interpolation dient. Die ermittelten Ordinaten sind dann auch in der Kurve enthalten. Den
x0, x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11, x12 (13 Werte x) entsprechen die Werte y0, y1, y2, y3, y4, y5, y6, y7, y8, y9, y10, y11, y12 = y0
12(13) Ordinaten:                   0.47 0.31 0.50 0.88 0.41 0.31 0.11 0.06 0.71 0.49 0.87 0.67 0.47
min = 0.06 max = 0.88 range = 0.82
Die Berechnung der Harmonischen Koeffizienten wird hier nicht beschrieben. Aus den 13 Ordinaten ergeben sich die folgenden 12 Koeffizienten:

a Koeff  b koeff

a0 =  0.48250
a1 = 0.16888
a2 = -0.22667
a3 = 0.01833
a4 = 0.00500
a5 = -0.00721
a6 = 0.02917
b1 = -0.04087
b2 = -0.09815
b3 = -0.08333lange
b4 = -0.07794
b5 = 0.15254

Die zugehörige Funktion, in die die Koeffizienten eingesetzt werden müssen, ist:
y= a 0 + a 1 ⋅cos⁡(x)+ a 2 ⋅cos⁡(2x)+ a 3 ⋅cos⁡(3x)+ a 4 ⋅cos⁡(4x)+ a 5 ⋅cos⁡(5x)+ a 6 ⋅cos⁡(6x)+ b 1 ⋅sin⁡(x)+ b 2 ⋅sin⁡(2x)+ b 3 ⋅sin⁡(3x)+ b 4 ⋅sin⁡(4x)+ b 5 ⋅sin⁡(5x)
Wer diese Funktion verwendet und für x nacheinander die Werte:
 x0 =0 , x1 = 2π / 12 , x2 =2⋅ 2π/ 12, x3 =3⋅ 2π/ 12 , x4 =4⋅ 2π/ 12, x5 =5⋅ 2π/ 12, x6 =6⋅ 2π / 12, x7 =7⋅ 2π /12 , x8 =8⋅ 2π /12 , x9 =9⋅ 2π / 12 , x10 =10⋅ 2π /12, x11 =11⋅ 2π/ 12 , x12 =12⋅ 2π / 12
einsetzt, wird die Ausgangswerte, die Zufallszahlen erhalten.
Damit hat man eine stetige Kurve von x = 0 bis x = 2Pi, die als Remissionskurve verwendet werden kann. Es muß nur noch bedacht werden, daß x = 0 dem Anfang 380nm und x = 2pi dem Ende 760nm entsprechen.
Wenn man diese Kurve zeichnet, gibt es folgendes Bild:

remission 1
Man kann aber nicht verhindern,das die Interpolationskurve neben den Stützstellen auch Werte kleiner Null oder größer Eins annimmt.
min = -0.08   max = 0.92  range = 1.0
Damit die berechnete Kurve als Remissionskurve eines hypothetischen Pigmentes gelten kann, würde es ausreichen, sie rechnerisch um 0.08 anzuheben. Dadurch wird aus den alten Koeffizienten ein Satz neuer Koeffizienten.
korr Kurve
Bei dem hiesigen Fall wird aus a0=0.4862 +0.08 = 0.5662, alles andere bleibt gleich.
Mit der vorliegenden Kurvenformel kann nun für beliebige Stellen im Intervall [0,2Pi] ein Kurvenwert y ausgerechnet werden. Er entspricht im Verhältnis einer Stelle im Wellenlängenbereich 380 nm bis 760 nm.
Die für die Berechnung der Farbwerte X,Y,Z z.B. erforderlichen 76 Ordinaten (Remission) sind somit bekannt.
Durch die Anwendung folgender Formeln ergeben sich die Farbwerte für das Beispiel zu X=19.12 Y=17.53 Z=31.24.


X E = ∫ 380 760 y harm ⋅ x ¯ ⋅ E E ⋅dλ Y E = ∫ 380 760 y harm ⋅ y ¯ ⋅ E E ⋅dλ Z E = ∫ 380 760 y harm ⋅ z ¯ ⋅ E E ⋅dλ

Durch den obigen Modus ist es möglich, eine Vielzahl theoretischer Pigmente mit ihren Remissionskurven zu ermitteln, die sich durch die Zufälligkeit der zugrundeliegenden 13 Ordinaten unterscheiden. Zur Probe wurden 450 x 450 = 202500 Pigmentkurven ermittelt. Die sich ergebenden Farbwerte <100 wurden mit
 2.5 multipliziert und vertreten als R,G.B den Farbwert eines Pixels in einem 450x450 Pixelbild. So wird
 X=60 zu R=150 und so weiter. Das daraus entstandene Bild sieht so aus:Ergebnisbild

Die gleichmäßig grau erscheinende Fläche ist ein Indiz für die zufälligen Farbwerte der Berechnung. Die Untersuchung des Bildes ergab 179745 verschiedene Farben(pixel), 22755 waren doppelt oder mehrfach vorhanden. (179745 + 22755 = 202500). Es sind also bei der Harmonischen Analyse 179745 ungleiche Remissionskurven entstanden, wobei ja Unterschiede von 0.4 in X,Y,Z den Wert von R,G,B um 1 verändern. Eine Untersuchung der erstellten Farbwerte ergab nach 24200 Berechnungen:

Mittelwert X: 49.86  Max: 88.8   Min: 11.9
Mittelwert Y: 49.85  Max: 94.7   Min: 12.9
Mittelwert Z : 49.82  Max: 97.2   Min: 13.9
 
In dem Bild sind ja nur die Farbwerte der Remissionskurven gespeichert. Wichtig wäre auch zu wissen,welche harmonischen Koeffizienten zugrunde  lagen. Schwer ist es auch , Pigmente mit bestimmten Farbwerten zu finden, da es sehr lange mit der Berechnung dauern kann, bis zufällig ein solches Pigment ermittelt wird. (siehe 179745 verschiedene in 202500 ermittelten Remissionen)(Die Berechnung der 202500 Farben hat zirka 6 Stunden gedauert). Während des Programmlaufes sollten die Remissionen erfaßt werden, die bis auf eine Toleranz die gleichen X,Y,Z-Werte haben sollten.(verschiedene Grau).Auch da passiert lange nichts.
 Hier aber einige Beispiele:
(1)
a0=0.5458333492
a1=-0.0429465584
a2=0.1491665989
a3=0.1266667694
a4=0.0791667029
a5=-0.0487200916
a6=0.0708333328
b1=0.1601357609
b2=0.1833087206
b3=0.0116667524
b4=-0.12557365
b5=0.2265308946

X=68.1810684204
Y=68.177406311
Z=68.1962585449
--------
(2)
0.4283333123
0.3545331061
0.2016666681
0.1966667622
0.2566667497
0.1438003182
0.0583333373
-0.1107852086
-0.0057734302
0.1633334458
0.0028868315
0.0191185623

X=10.5910215378
Y=10.5569248199
Z=10.5363588333
--------
(3)
0.4824999869
0.1718621999
0.1733332723
0.2733334601
-0.0750000551
0.249804616
0.12416666
0.1002190039
0.0288675576
0.001666781
0.2396003604
-0.0585522056

X=34.6076545715
Y=34.5875930786
Z=34.6373062134
--------
(4)
0.5091667175
-0.0953941569
0.0299999416
-0.0199998766
0.0383333303
0.1903942972
-0.0324999951
-0.0072532278
0.1039230898
0.1816666871
-0.2049593776
-0.2410800606

X=68.1469802856
Y=68.2236404419
Z=68.1658401489
--------
(5)
0.5266666412
0.2296527773
-0.0533333011
0.2483335137
0.1283335686
0.0420140438
0.0983333215
-0.2068535686
-0.2193930298
-0.1183331981
-0.1125833392
0.0385200419

35.5887641907
35.5812339783
35.5705413818


Pigment  (1) und (4)   sind in X,Y,Z  ziemlich  gleich.  Sie  entsprechen  einem  gleichhellen  Grau, haben  aber ganz verschiedene Remissionskurven  (gegeben durch verschiedene  harm.  Koeffizienten).  Diese Farben sind nahezu bedingt gleich oder metamer.

Grau 33

Oben ist  die  Abbildung eines Grau  mit  X=Y=Z=33.33.   Es ist eine unreale  Remission. Auf den 25. Teil der Amplitude gebracht, hätte es den Wert X=Y=Z=1.33. Die Schwingung um die x-Achse müßte bleiben.
Die Koeffizienten a0...a6, b1...b5 haben im allgemeinen die Eigenschaft, das jedes zusätzliche an,bn eine weitere Annäherung an die gegebenen y  bewirkt  und die  an,bn  immer kleiner werden.  Die  Koeffizienten  bis zu einem bestimmten  Grad  bewirken  immer den  dabei  kleinsten  mittleren  Fehler.  Das  Optimum  liegt bei  13  Ordinaten  bei 12  harm.  Koeffizienten.

Berechnung von Remissionskurven für bestimmte Farbwerte mittels Harmonischer Analyse
Methode1:
Ausgangspunkt sind 3 unterschiedliche Remissionen, die möglicherweise schon  ähnliche Farbwerte wie den zu erzeugenden haben.

1. harmonische Koeffizienten der 1. Remissionskurve (Farbwerte X=33.783 Y=33.709 Z=33.665)

   a01 :=0.5486701727;
> a11:=-0.1308293641;
> a21:=0.0400439166;
> a31:=-0.03825083;
> a41:=0.230103299;
> a51:=0.1403921247;
> a61:=-0.0472160093;
> b11:=0.0694125518;
> b21:=0.077639766;
> b31:=-0.0322742537;
> b41:=-0.1086956114;
> b51:=-0.0299663059;

2. harmonische Koeffizienten der 2. Remissionskurve (Farbwerte X=33.634 Y=33.438 Z=33.596)

    a02 :=0.5072386265;
> a12:=-0.219069317;
> a22:=-0.0472684838;
> a32:=-0.0999389067;
> a42:=-0.0094537241;
> a52:=-0.0132212397;
> a62:=0.0958874226;
> b12:=0.0958094671;
> b22:=0.0397661179;
> b32:=-0.0999389887;
> b42:=-0.0163742919;
> b52:=-0.1147168949;

3. harmonische Koeffizienten der 3. Remissionskurve (Farbwerte X=31.825 Y=31.837 Z=31.713)

    a03 :=0.6635154486;
> a13:=0.0566300564;
> a23:=0.0451229252;
> a33:=0.0094996933;
> a43:=-0.0182074513;
> a53:=0.062114764;
> a63:=0.1211195439;
> b13:=-0.0611413345;
> b23:=0.0233095121;
> b33:=0.150409922;
> b43:=-0.0726707429;
> b53:=-0.1351833045;
3 Bezugskurven
Remissionskurven der 3 vorgelegten Pigmente
Man beachte die vorgebrachte These der Farbwissenschaft, daß Remissionskurven von Metameren, sich bei bestimmten Wellenlängen schneiden.
Die in der Literatur beschriebene Schwierigkeit,diese Punkte zu finden, ist bei der Umsetzung durch harmonische Analyse nicht vorhanden, da die Remissionskurven in geschlossener Form gegeben sind, Mit den üblichen Verfahren, z.B. Gleichsetzung können die Schnittpunkte als Nullstellen der Differenz für das Intervall [0,2Pi] berechnet werden. (negative x + 2Pi)
  Schnittpunkte zwischen Kurve 1 und 2:
  Lösungen x :-1.20262, 1.16003, 0.581164, -0.525077, 1.74962, -1.92470, -2.43464, 2.43541, -2.67770, 3.06860

a 1 ⋅ ∑ λ=380 760 β 1 ⋅ x ¯ ⋅ E E ⋅Δλ+ a 2 ⋅ ∑ λ=380 760 β 2 ⋅ x ¯ ⋅ E E ⋅Δλ+ a 3 ⋅ ∑ λ=380 760 β 3 ⋅ x ¯ ⋅ E E ⋅Δλ= X soll a 1 ⋅ ∑ λ=380 760 β 1 ⋅ y ¯ ⋅ E E ⋅Δλ+ a 2 ⋅ ∑ λ=380 760 β 2 ⋅ y ¯ ⋅ E E ⋅Δλ+ a 3 ⋅ ∑ λ=380 760 β 3 ⋅ y ¯ ⋅ E E ⋅Δλ= Y soll a 1 ⋅ ∑ λ=380 760 β 1 ⋅ z ¯ ⋅ E E ⋅Δλ+ a 2 ⋅ ∑ λ=380 760 β 2 ⋅ z ¯ ⋅ E E ⋅Δλ+ a 3 ⋅ ∑ λ=380 760 β 3 ⋅ z ¯ ⋅ E E ⋅Δλ= Z soll a 1 ⋅ β 1 + a 2 ⋅ β 2 + a 3 ⋅ β 3 = β soll

Das Gleichungssystem für das Beispiel:

a1*33.783+a2*33.634+a3*31.825=33.33
a1*33.709+a2*33.438+a3*31.837=33.33
a1*33.665+a2*33.596+a3*31.713=33.33
a1 = -3.45909   a2 = 1.49799   a3 = 3.13615           Summe: 1.17505

Die daraus sich ergebende Remissionskurve ist die anteilige Mischung der 3 Ausgangsfunktionen y1,y2,y3:
y =( a1*y1 + a2*y2 + a3*y3 = -3.45909 * y1 + 1.49799 * y2 + 3.13615 * y3) / 2
Die Division durch 2 ist eine nicht weiter begründete Maßnahme.
Diese Kurve sieht wie folgt aus:
gemittelte Remission
lambda, Remission
Data.f 380,0.3492
Data.f 385,0.2955
Data.f 390,0.2485
Data.f 395,0.2314
Data.f 400,0.2669
Data.f 405,0.3698
Data.f 410,0.5402
Data.f 415,0.7604
Data.f 420,0.9958
Data.f 425,1.1998
Data.f 430,1.3237
Data.f 435,1.3271------ Max
Data.f 440,1.1877
Data.f 445,0.9092
Data.f 450,0.5225
Data.f 455,0.0825
Data.f 460,-0.3415
Data.f 465,-0.6784
Data.f 470,-0.8692
Data.f 475,-0.8787 ------ Min
Data.f 480,-0.7038
Data.f 485,-0.3737
Data.f 490,0.0546
Data.f 495,0.5076
Data.f 500,0.9092
Data.f 505,1.1955
Data.f 510,1.3264
Data.f 515,1.2923
Data.f 520,1.1149
Data.f 525,0.8403
Data.f 530,0.5290
Data.f 535,0.2421
Data.f 540,0.0291
Data.f 545,-0.0818
Data.f 550,-0.0874
Data.f 555,-0.0084
Data.f 560,0.1183
Data.f 565,0.2492
Data.f 570,0.3454
Data.f 575,0.3820
Data.f 580,0.3533
Data.f 585,0.2729
Data.f 590,0.1699
Data.f 595,0.0799
Data.f 600,0.0358
Data.f 605,0.0593
Data.f 610,0.1550
Data.f 615,0.3091
Data.f 620,0.4929
Data.f 625,0.6697
Data.f 630,0.8039
Data.f 635,0.8696
Data.f 640,0.8567
Data.f 645,0.7736
Data.f 650,0.6449
Data.f 655,0.5054
Data.f 660,0.3921
Data.f 665,0.3354
Data.f 670,0.3517
Data.f 675,0.4407
Data.f 680,0.5849
Data.f 685,0.7550
Data.f 690,0.9162
Data.f 695,1.0371
Data.f 700,1.0960
Data.f 705,1.0855
Data.f 710,1.0133
Data.f 715,0.8988
Data.f 720,0.7677
Data.f 725,0.6448
Data.f 730,0.5482
Data.f 735,0.4851
Data.f 740,0.4517
Data.f 745,0.4352
Data.f 750,0.4199
Data.f 755,0.3928
Data.f 760,0.3492

Die Ergebniskurve kann nicht als natürliche Remissionskurve gelten, da Teile davon sowohl kleiner Null als auch größer 1 sind.
Die oben gegebenen Remissionen ergeben folgende Farbwerte:
X=33.33    Y=33.33    Z=33.33
Wenn die Kurve in der Amplitude angepasst und über y=0 angehoben wird ergibt sich die Remission:

Data.f 380,0.3377
Data.f 385,0.3229
Data.f 390,0.3100
Data.f 395,0.3053
Data.f 400,0.3151
Data.f 405,0.3433
Data.f 410,0.3902
Data.f 415,0.4507
Data.f 420,0.5153
Data.f 425,0.5714
Data.f 430,0.6054
Data.f 435,0.6063
Data.f 440,0.5680
Data.f 445,0.4915
Data.f 450,0.3853
Data.f 455,0.2644
Data.f 460,0.1479
Data.f 465,0.0554
Data.f 470,0.0030
Data.f 475,0.0004
Data.f 480,0.0484
Data.f 485,0.1391
Data.f 490,0.2568
Data.f 495,0.3812
Data.f 500,0.4915
Data.f 505,0.5702
Data.f 510,0.6061
Data.f 515,0.5968
Data.f 520,0.5480
Data.f 525,0.4726
Data.f 530,0.3871
Data.f 535,0.3083
Data.f 540,0.2498
Data.f 545,0.2193
Data.f 550,0.2177
Data.f 555,0.2394
Data.f 560,0.2743
Data.f 565,0.3102
Data.f 570,0.3366
Data.f 575,0.3467
Data.f 580,0.3388
Data.f 585,0.3167
Data.f 590,0.2884
Data.f 595,0.2637
Data.f 600,0.2516
Data.f 605,0.2580
Data.f 610,0.2843
Data.f 615,0.3267
Data.f 620,0.3772
Data.f 625,0.4257
Data.f 630,0.4626
Data.f 635,0.4807
Data.f 640,0.4771
Data.f 645,0.4543
Data.f 650,0.4189
Data.f 655,0.3806
Data.f 660,0.3495
Data.f 665,0.3339
Data.f 670,0.3384
Data.f 675,0.3628
Data.f 680,0.4024
Data.f 685,0.4492
Data.f 690,0.4935
Data.f 695,0.5267
Data.f 700,0.5429
Data.f 705,0.5400
Data.f 710,0.5201
Data.f 715,0.4887
Data.f 720,0.4527
Data.f 725,0.4189
Data.f 730,0.3924
Data.f 735,0.3750
Data.f 740,0.3658
Data.f 745,0.3613
Data.f 750,0.3571
Data.f 755,0.3497
Data.f 760,0.3377
X=33.33  Y=33.33  Z=33.33
Ausgleich
Vergleich
die beiden vorherigen Remissionskurven zusammen dargestellt
Die rote Kurve ist ein Grau mit X=Y=Z=33.33
Diese Graukurve kann verwendet werden, um die Remission und damit die Farbwerte eines Pigmentes  zu verändern, indem sie mit einem Faktor multipliziert zu einer Ausgangsremission addiert wird. Die Farbe ändert dadurch ihre Sättigung.

Beispiel eines grünen Pigmentes:

Data.f 380,0.0019
Data.f 385,0.0108
Data.f 390,0.0196
Data.f 395,0.0285
Data.f 400,0.0373
Data.f 405,0.0461
Data.f 410,0.0548
Data.f 415,0.0635
Data.f 420,0.0721
Data.f 425,0.0806
Data.f 430,0.0891
Data.f 435,0.0974
Data.f 440,0.1044
Data.f 445,0.1134
Data.f 450,0.1240
Data.f 455,0.1374
Data.f 460,0.1545
Data.f 465,0.1763
Data.f 470,0.2040
Data.f 475,0.2385
Data.f 480,0.2808
Data.f 485,0.3326
Data.f 490,0.3926
Data.f 495,0.4591
Data.f 500,0.5293
Data.f 505,0.6002
Data.f 510,0.6691
Data.f 515,0.7332
Data.f 520,0.7895
Data.f 525,0.8354
Data.f 530,0.8679
Data.f 535,0.8842
Data.f 540,0.8742
Data.f 545,0.8522
Data.f 550,0.8140
Data.f 555,0.7626
Data.f 560,0.7012
Data.f 565,0.6328
Data.f 570,0.5606
Data.f 575,0.4877
Data.f 580,0.4171
Data.f 585,0.3520
Data.f 590,0.2898
Data.f 595,0.2430
Data.f 600,0.2051
Data.f 605,0.1746
Data.f 610,0.1504
Data.f 615,0.1309
Data.f 620,0.1149
Data.f 625,0.1011
Data.f 630,0.0882
Data.f 635,0.0809
Data.f 640,0.0679
Data.f 645,0.0556
Data.f 650,0.0444
Data.f 655,0.0350
Data.f 660,0.0278
Data.f 665,0.0236
Data.f 670,0.0228
Data.f 675,0.0474
Data.f 680,0.0546
Data.f 685,0.0649
Data.f 690,0.0780
Data.f 695,0.0935
Data.f 700,0.1108
Data.f 705,0.1296
Data.f 710,0.1494
Data.f 715,0.1698
Data.f 720,0.1904
Data.f 725,0.1956
Data.f 730,0.2151
Data.f 735,0.2343
Data.f 740,0.2532
Data.f 745,0.2720
Data.f 750,0.2909
Data.f 755,0.3098
Data.f 760,0.3290

X=29.94  Y=53.47  Z=18.68

aufgehelltes Grün:

Data.f 380,0.0648
Data.f 385,0.0640
Data.f 390,0.0643
Data.f 395,0.0702
Data.f 400,0.0853
Data.f 405,0.1127
Data.f 410,0.1520
Data.f 415,0.2004
Data.f 420,0.2513
Data.f 425,0.2966
Data.f 430,0.3274
Data.f 435,0.3363
Data.f 440,0.3182
Data.f 445,0.2771
Data.f 450,0.2181
Data.f 455,0.1523
Data.f 460,0.0930
Data.f 465,0.0542
Data.f 470,0.0475
Data.f 475,0.0803
Data.f 480,0.1541
Data.f 485,0.2653
Data.f 490,0.4024
Data.f 495,0.5505
Data.f 500,0.6930
Data.f 505,0.8154
Data.f 510,0.9079
Data.f 515,0.9658
Data.f 520,0.9902
Data.f 525,0.9867
Data.f 530,0.9631
Data.f 535,0.9278
Data.f 540,0.8794
Data.f 545,0.8375
Data.f 550,0.7983
Data.f 555,0.7611
Data.f 560,0.7225
Data.f 565,0.6777
Data.f 570,0.6228
Data.f 575,0.5565
Data.f 580,0.4807
Data.f 585,0.4011
Data.f 590,0.3204
Data.f 595,0.2574
Data.f 600,0.2115
Data.f 605,0.1853
Data.f 610,0.1783
Data.f 615,0.1865
Data.f 620,0.2036
Data.f 625,0.2216
Data.f 630,0.2329
Data.f 635,0.2374
Data.f 640,0.2221
Data.f 645,0.1948
Data.f 650,0.1605
Data.f 655,0.1260
Data.f 660,0.0984
Data.f 665,0.0840
Data.f 670,0.0861
Data.f 675,0.1267
Data.f 680,0.1599
Data.f 685,0.2008
Data.f 690,0.2429
Data.f 695,0.2802
Data.f 700,0.3081
Data.f 705,0.3250
Data.f 710,0.3318
Data.f 715,0.3316
Data.f 720,0.3286
Data.f 725,0.3117
Data.f 730,0.3138
Data.f 735,0.3216
Data.f 740,0.3345
Data.f 745,0.3503
Data.f 750,0.3665
Data.f 755,0.3805
Data.f 760,0.3919

X=35.94  Y=59.47  Z= 24.68

Es wurde also das 0.18-fache der Grauremission zum Grün zugefügt - entspricht +6

Farben mit identischen X,Y,Z-werten, sogn. Metamere, können auf diese Art ermittelt werden. Bei dieser Manipulation wird zu einer gegebenen Remissionskurve eine Remission hinzugerechnet, die einem sogn. Unechtschwarz entspricht mit X=0 Y=0 Z=0. Das Pigment hat die Helligkeit 0 aber trotzdem einen Remissionsverlauf.
Ein solches Schwarz ist z.B.:

Data.f 380,0.0463
Data.f 385,-0.1132
Data.f 390,-0.2660
Data.f 395,-0.4043
Data.f 400,-0.5208
Data.f 405,-0.6096
Data.f 410,-0.6664
Data.f 415,-0.6885
Data.f 420,-0.6753
Data.f 425,-0.6279
Data.f 430,-0.5497
Data.f 435,-0.4452
Data.f 440,-0.3207
Data.f 445,-0.1834
Data.f 450,-0.0409
Data.f 455,0.0989
Data.f 460,0.2284
Data.f 465,0.3410
Data.f 470,0.4310
Data.f 475,0.4942
Data.f 480,0.5281
Data.f 485,0.5321
Data.f 490,0.5073
Data.f 495,0.4563
Data.f 500,0.3836
Data.f 505,0.2944
Data.f 510,0.1951
Data.f 515,0.0923
Data.f 520,-0.0072
Data.f 525,-0.0972
Data.f 530,-0.1722
Data.f 535,-0.2279
Data.f 540,-0.2614
Data.f 545,-0.2714
Data.f 550,-0.2581
Data.f 555,-0.2235
Data.f 560,-0.1707
Data.f 565,-0.1044
Data.f 570,-0.0299
Data.f 575,0.0468
Data.f 580,0.1196
Data.f 585,0.1829
Data.f 590,0.2314
Data.f 595,0.2611
Data.f 600,0.2693
Data.f 605,0.2546
Data.f 610,0.2173
Data.f 615,0.1595
Data.f 620,0.0844
Data.f 625,-0.0031
Data.f 630,-0.0975
Data.f 635,-0.1923
Data.f 640,-0.2811
Data.f 645,-0.3573
Data.f 650,-0.4153
Data.f 655,-0.4503
Data.f 660,-0.4587
Data.f 665,-0.4386
Data.f 670,-0.3897
Data.f 675,-0.3138
Data.f 680,-0.2139
Data.f 685,-0.0950
Data.f 690,0.0369
Data.f 695,0.1748
Data.f 700,0.3109
Data.f 705,0.4376
Data.f 710,0.5477
Data.f 715,0.6344
Data.f 720,0.6925
Data.f 725,0.7181
Data.f 730,0.7091
Data.f 735,0.6654
Data.f 740,0.5886
Data.f 745,0.4824
Data.f 750,0.3520
Data.f 755,0.2041
Data.f 760,0.0463

X=0  Y=0  Z=0

Die Harmonische Analyse dieses Schwarz ergibt:

a0 = 0.01861
a1 = 0.00821
a2 = -0.00858
a3 = 0.03233
a4 = 0.00122
a5 = 0.00122
a6 = 0.00061
b1 = -0.00800
b2 = -0.25229
b3 = -0.47437
b4 = -0.00000
b5 = -0.00001

Schwarz

Statt die einzelnen Remissionswerte von 380nm bis 760nm zu verwenden, kann die eben besprochene Metamerierechnung auch mit den jeweiligen harmonischen Formeln durchgeführt werden, deren Werte im Bereich 380nm /760nm ja die  entsprechenden Remissionen ergeben. Gleiche Faktoren verschiedener Analysen werden einfach addiert, subtrahiert oder in einen bestimmten Verhältnis addiert, was dann die Faktoren des neuen Pigmentes ergibt.

Zur Erzeugung großer Mengen an Metameren einer Farbe ist es nützlich, einen ganzen Pool an Unechtschwarzremissionen zu kennen. Durch unterschiedliche Anteile des Schwarz zu den Farbwerten entstehen aber schon einige Metamere.

Methode 2 zur Erzeugung von Remissionskurven zu vorgegebenen Farbwerten X,Y,Z:

Oben wurde gezeigt, das sich die Farbwerte , z.B. X ; ergeben zu:

X E = ∫ 380 760 β 1λ ⋅ x ¯ ⋅ E E ⋅dλ 

Beta ist der Verlauf der Remission, x ist der Normspektralwert Rotreiz, E ist die Lichtfunktion des beleuchtenden Lichtes. Die Produkte x*E sind oft tabellarisch gegeben.Ich verwende hier überall Normlicht E. Würde man sich auf eine andere Lichtart , z.B. D65 , beziehen wollen, müssen die zuständigen harmonischen Koeffizienten berechnet werden (siehe unten). Man kann nun auch diese Produkte (alle 5nm) der Harmonischen Analyse unterziehen.Die Berechnung ergibt für die ersten 12(13) Faktoren, die in diesem Artikel immer wieder verwendet werden: Die Faktoren beziehen sich auf den Bereich 380nm bis 760nm ---> 100/76=1.3158

Wertefolge: Wert X-Kurve, Wert Y-Kurve, Wert Z-Kurve
a0:
1.31578410,1.31578946,1.31578946
a1 bis a6
 -1.54111862,-2.04717612,0.79035813
 0.55933112,0.97461176,-1.53504515
 -0.45740202,-0.29176518,-1.28036225
 -0.05466671,0.04228035,-0.00159845
 0.12844959,0.01040796,0.47454467
 0.05579659,-0.00029058,0.27443796
b1 bis b6
-0.41479027,0.33075830,2.31597567
 1.17270386,-0.33833477,1.26415730
 -0.58113790,0.20473152,-0.65213662
 -0.06109918,-0.11427274,-0.93750840
 -0.07279165,0.04867980,-0.28901368
-0.00429678,-0.01250615,0.10644269

Gegeben sei ein Pigment Farbton ca. 584nm mit der Harmonischen Analyse seines Remissionsverlaufes. Die Werte der Koeffizienten seien:
a0 = 0,3347374201   a1 = -0,1412685364   a2 = 0,1505438089    a3 = 0,0252012592    a4 = 0,0139268879   a5 = -0,0470769927   a6 = 0,0225484092   b1 = -0,0271210652    b2 =0,1527740508   b3 = -0,0013263674    b4 = 0,1343951374   b5 = -0,077662766 

Damit mit den Variablen keine Verwechslungen geschehen, sei:
n0=a0  n1=a1  n2=a2  n3=a3  n4=a4  n5=a5  n6=a6  o1=b1  o2=b2  o3=b3  o4=b4 o5=b5
und für die Koeffizienten bezüglich der Eichreizwerte:
X: a0x,a1x,a2x.....b1x...                      Y: a0y,a1y,a2y... b1y,,,                        Z: a0z,a1z,a2z,,,    b1z.....

Für die Ermittlung der Farbwerte sind folgende Produktsummen zu bilden:
SummeX=2*n0*a0x + n1*a1x + n2*a2x + n3*a3x + n4*a4x + n5*a5x + n6*a6x + o1*b1x + o2*b2x + o3*b3x + o4*b4x + o5*b5x +  (o6*b6x)
SummeY=2*n0*a0y + n1*a1y + n2*a2y + n3*a3y + n4*a4y + n5*a5y + n6*a6y + o1*b1y + o2*b2y + o3*b3y + o4*b4y + o5*b5y  +  (o6*b6y)
SummeZ=2*n0*a0z +  n1*a1z + n2*a2z + n3*a3z + n4*a4z +  n5*a5z + n6*a6z + o1*b1z +  o2*b2z + o3*b3z + o4*b4z +  o5*b5z  + (o6*b6z)

Farbwert X     X=38*SummeX
Farbwert Y     Y=38*SummeY
Farbwert Z      Z=38*SummeZ
Ergebnis für das Beispiel:
                                                                  SummeX = 1.354343262         X = 51.46
                                                     SummeY = 1.229481589         Y = 46.72
                                                     SummeZ = 0.5173353684        Z = 19.65
Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn man die Werte der unten angeführten  Remissionskurve dieses Pigmentes zur Farbwertberechnung (Spektralverfahren) verwendet.

Data.f 380,0.3586
Data.f 385,0.3918
Data.f 390,0.4213
Data.f 395,0.4471
Data.f 400,0.4687
Data.f 405,0.4848
Data.f 410,0.4933
Data.f 415,0.4912
Data.f 420,0.4760
Data.f 425,0.4453
Data.f 430,0.3987
Data.f 435,0.3375
Data.f 440,0.2659
Data.f 445,0.1901
Data.f 450,0.1185
Data.f 455,0.0596
Data.f 460,0.0215
Data.f 465,0.0100
Data.f 470,0.0275
Data.f 475,0.0721
Data.f 480,0.1380
Data.f 485,0.2157
Data.f 490,0.2936
Data.f 495,0.3602
Data.f 500,0.4055
Data.f 505,0.4230
Data.f 510,0.4112
Data.f 515,0.3734
Data.f 520,0.3180
Data.f 525,0.2566
Data.f 530,0.2022
Data.f 535,0.1672
Data.f 540,0.1613
Data.f 545,0.1897
Data.f 550,0.2524
Data.f 555,0.3441
Data.f 560,0.4551
Data.f 565,0.5731
Data.f 570,0.6849
Data.f 575,0.7782
Data.f 580,0.8439
Data.f 585,0.8766
Data.f 590,0.8753
Data.f 595,0.8433
Data.f 600,0.7872
Data.f 605,0.7152
Data.f 610,0.6365
Data.f 615,0.5592
Data.f 620,0.4898
Data.f 625,0.4324
Data.f 630,0.3885
Data.f 635,0.3576
Data.f 640,0.3373
Data.f 645,0.3244
Data.f 650,0.3151
Data.f 655,0.3061
Data.f 660,0.2947
Data.f 665,0.2790
Data.f 670,0.2582
Data.f 675,0.2322
Data.f 680,0.2021
Data.f 685,0.1695
Data.f 690,0.1364
Data.f 695,0.1054
Data.f 700,0.0791
Data.f 705,0.0599
Data.f 710,0.0499
Data.f 715,0.0505
Data.f 720,0.0620
Data.f 725,0.0841
Data.f 730,0.1152
Data.f 735,0.1531
Data.f 740,0.1952
Data.f 745,0.2387
Data.f 750,0.2815
Data.f 755,0.3217
Data.f 760,0.3586

Wir kommen zu der Erkenntnis, daß die Farbwerte von Pigmenten, die durch die Formel ihrer Harmonischen Analyse gegeben sind, durch die eben durchgeführte Rechnung erhalten werden können.
Aber auch der umgekehrte Weg ist denkbar. Die Frage lautet: Wie sind die Harmonischen Koeffizienten eines Pigmentes, wenn dessen Farbwerte X,Y,Z gegeben sind ?
Dazu müssen wir den Weg rückwärts gehen. Folgende Aufgabe : Es wird die Remissionskurve eines theoretischen Pigmentes gesucht, dessen Farbwerte X=0 Y=0 Z=0 sind (Unechtschwarz) 
                           X/38=0     Y/38=0    Z/38=0     SummeX=0   SummeY=0   SummeZ=0
Es gelten die obigen Formeln für SummeX...SummeZ. Wir haben 3 Gleichungen mit 12 Unbekannten. Wir können maximal 3 Unbekannte exakt lösen. Es bleiben 9 Unbekannte übrig. Dadurch ist eine unüberschaubare Zahl von Pigmentremissionen, wenn auch meist physikalisch nicht erzeugbar,möglich. Ich habe etwa 200000 Pigmente mit ihren harmonischen Koeffizienten statistisch ausgewertet. Deshalb kann man für die fehlenden 9 Variablen zumindest sinnvolle Werte einsetzen. Eventuell befindet sich in der Menge der untersuchten Pigmente schon eines mit ähnlichen X,Y,Z.

                                                a0 = n0 = 0.4
                               a1 soll berechnet werden
                               a2 soll berechnet werden
                               a3 = n3 = 0.0607
                               a4 = n4 = -0.0053
                               a5 = n5 = 0.054
                               a6 = n6 = 0.0309
                               b1 = o1 = soll berechnet werden
                               b2 = o2 = 0.0113
                               b3 = o3 = 0.053
                               b4 = o4 = -0.2
                               b5 = o5 = -0.103

Nach Gleichungsauflösung :                  a1 = 1.175686256, a2 = 1.383487436, b1 = -0.004972821009

Remission dieses Schwarz:

Data.f 380,3.0995
Data.f 385,2.9749
Data.f 390,2.8003
Data.f 395,2.5935
Data.f 400,2.3719
Data.f 405,2.1503
Data.f 410,1.9382
Data.f 415,1.7395
Data.f 420,1.5517
Data.f 425,1.3675
Data.f 430,1.1767
Data.f 435,0.9687
Data.f 440,0.7354
Data.f 445,0.4733
Data.f 450,0.1851
Data.f 455,-0.1203
Data.f 460,-0.4281
Data.f 465,-0.7200
Data.f 470,-0.9768
Data.f 475,-1.1807
Data.f 480,-1.3181
Data.f 485,-1.3817
Data.f 490,-1.3708
Data.f 495,-1.2914
Data.f 500,-1.1549
Data.f 505,-0.9764
Data.f 510,-0.7724
Data.f 515,-0.5589
Data.f 520,-0.3493
Data.f 525,-0.1542
Data.f 530,0.0199
Data.f 535,0.1693
Data.f 540,0.2928
Data.f 545,0.3909
Data.f 550,0.4644
Data.f 555,0.5138
Data.f 560,0.5394
Data.f 565,0.5411
Data.f 570,0.5187
Data.f 575,0.4725
Data.f 580,0.4038
Data.f 585,0.3152
Data.f 590,0.2103
Data.f 595,0.0938
Data.f 600,-0.0289
Data.f 605,-0.1529
Data.f 610,-0.2734
Data.f 615,-0.3871
Data.f 620,-0.4912
Data.f 625,-0.5845
Data.f 630,-0.6663
Data.f 635,-0.7362
Data.f 640,-0.7942
Data.f 645,-0.8394
Data.f 650,-0.8707
Data.f 655,-0.8862
Data.f 660,-0.8832
Data.f 665,-0.8587
Data.f 670,-0.8091
Data.f 675,-0.7305
Data.f 680,-0.6192
Data.f 685,-0.4715
Data.f 690,-0.2847
Data.f 695,-0.0570
Data.f 700,0.2116
Data.f 705,0.5185
Data.f 710,0.8581
Data.f 715,1.2212
Data.f 720,1.5953
Data.f 725,1.9645
Data.f 730,2.3112
Data.f 735,2.6172
Data.f 740,2.8656
Data.f 745,3.0431
Data.f 750,3.1414
Data.f 755,3.1586
Data.f 760,3.0995

Unechtschwarz

Um dieses Schwarz einzusetzen , muss es eventuell nur zu einem Bruchteil zu einer gegeben Remission hinzugerechnet werden, damit  die entstehende Kurve im Bereich 0...1 bleibt. Auch Vielfache oder Teile bleiben Schwarz  (4*0=0 , 0.34*0=0)
Auf die eben beschriebene Art lassen sich auch andere spezielle (theoretische) Pigmente errechnen. Es soll eine Remission errechnet werden:  X=5 Y=0 Z=5 - ein Pigment, daß die Helligkeit nicht ändert aber den Farbwert X und Z beeinflußt.

Lösung:      a1 = 0.9953196868, a2 = 1.041404346, b1 = -0.1133417733   die anderen Faktoren wie eben

Remission:

Data.f 380,2.5770
Data.f 385,2.4488
Data.f 390,2.2810
Data.f 395,2.0912
Data.f 400,1.8962
Data.f 405,1.7099
Data.f 410,1.5409
Data.f 415,1.3918
Data.f 420,1.2588
Data.f 425,1.1332
Data.f 430,1.0031
Data.f 435,0.8564
Data.f 440,0.6835
Data.f 445,0.4793
Data.f 450,0.2451
Data.f 455,-0.0113
Data.f 460,-0.2765
Data.f 465,-0.5330
Data.f 470,-0.7622
Data.f 475,-0.9469
Data.f 480,-1.0738
Data.f 485,-1.1354
Data.f 490,-1.1307
Data.f 495,-1.0653
Data.f 500,-0.9500
Data.f 505,-0.7987
Data.f 510,-0.6270
Data.f 515,-0.4496
Data.f 520,-0.2786
Data.f 525,-0.1231
Data.f 530,0.0117
Data.f 535,0.1236
Data.f 540,0.2128
Data.f 545,0.2809
Data.f 550,0.3299
Data.f 555,0.3612
Data.f 560,0.3760
Data.f 565,0.3745
Data.f 570,0.3570
Data.f 575,0.3238
Data.f 580,0.2760
Data.f 585,0.2158
Data.f 590,0.1461
Data.f 595,0.0709
Data.f 600,-0.0058
Data.f 605,-0.0800
Data.f 610,-0.1485
Data.f 615,-0.2092
Data.f 620,-0.2611
Data.f 625,-0.3042
Data.f 630,-0.3395
Data.f 635,-0.3680
Data.f 640,-0.3908
Data.f 645,-0.4084
Data.f 650,-0.4205
Data.f 655,-0.4261
Data.f 660,-0.4230
Data.f 665,-0.4083
Data.f 670,-0.3786
Data.f 675,-0.3298
Data.f 680,-0.2576
Data.f 685,-0.1577
Data.f 690,-0.0263
Data.f 695,0.1395
Data.f 700,0.3410
Data.f 705,0.5772
Data.f 710,0.8439
Data.f 715,1.1337
Data.f 720,1.4355
Data.f 725,1.7354
Data.f 730,2.0170
Data.f 735,2.2638
Data.f 740,2.4602
Data.f 745,2.5940
Data.f 750,2.6578
Data.f 755,2.6504
Data.f 760,2.5770

Remission5-0-5

Es soll eine Remission errechnet werden:  X=0 Y=0 Z=5 - ein Pigment, daß die Helligkeit und X nicht ändert aber den Farbwert Z beeinflußt.
Lösung:              a1 = 1.143999323, a2 = 1.310414880, b1 =0.01422137846   andere Faktoren wie eben

Remission 0-0-5

Durch die überwiegende Zahl gleichbleibender harm. Koeff. sind die Kurven alle ähnlich - erfüllen aber unterschiedliche Zwecke. Man kann es immer so einrichten , daß auch  3 andere harmonische Koeffizienten aus den 3 Gleichungen berechnet werden können. Die ersten Koeffizienten a0,a1,b1 bestimmen aber die Grundschwingung und damit die Grundform der Remissionskurve. Die Variation der Koeffizienten bei gleichbleibenden Zielwerten X,Y,Z  ermöglicht eine Vielzahl von unterschiedlich verlaufenden Remissionen. Ein Problem ist immer die Einhaltung der Remission zwischen Null und Eins. Selbst wenn die Ausgangsremissionen dieses Kriterium erfüllen, ist das bei den Kombinationen meist nicht gegeben. Durch Einbeziehung eines oder mehrerer Schwarzpigmente in bestimmten Verhältnissen zum untersuchten Pigment kann grundsätzlich (hängt von den Schwarz ab) diese 0...1 eingehalten werden. Im Einzelfall ist viel Probiererei notwendig. Besser wäre es, bei der Erzeugung durch die Wahl der Koeffizienten , schon diese 0...1 einhalten zu können. Eine Grenze des Machbaren stellen auch die Optimalfarben dar. Sie haben steil ab- oder ansteigende Remissionen, denen mit 12 harm. Koeffizienten nicht beizukommen ist. Andere Methoden sind hier zielführend. Andererseits gibt es solche Remissionen nur theoretisch.


∑ v=0 11 y v 2 -12⋅[ a 0 2 + 1 2 ⋅ ∑ i=1 5 ( a i 2 + b i 2 )+ a 6 2 ]=0
Diese Formel kann zur Überprüfung der Rechnung verwendet werden. Sie gibt Antwort über den mittleren Quadratfehler. Durch die Einrichtung auch zur Interpolation ist die Differenz Null. Sie gibt Antwort, wie sich die Annäherung durch zusätzliche oder wegfallende Summanden der harm. Analyse ändert.

Farbreizsummenlose Farben
Farben konstanter Farbwertsumme spielen im Luther-Farbkörper eine größere Rolle. Ähnlich wie man die Unechtschwarzpigmente verwendet, um sogn. metamere Pigmente zu erzeugen, indem man  die  Remissionswerte des Unechtschwarz zur Remission der Ausgangsfarbe addiert, wird hier eine Remissionskurve ermittelt, die zusammen mit der Ausgangsfarbe Farbwerte ergibt, deren Summe konstant bleibt. Beispiel : Ausgangsfarbe X=70 Y=50 Z=10 (Summe=130) könnte ergeben Farbe 2: X=65 Y=40 Z=25 (Summe=130)
So eine Remissionskurve ist z.B. durch folgende harmonische Koeffizienten gegeben.

 a0 = 0.47
 a1 = 0.80
 a2 = -0.254
 a3 = -0.12
 a4 = 0.07
 a5 = 0.03
 a6 = 0.01
 b1 = -0.8145
 b2 = 0.10
 b3 = 0.09
 b4 = 0.03
 b5 = 0.0058

Die daraus resultierende Remissionskurve kann in allen Verhältnissen zur Farbremission hinzugerechnet werden. Man erhält Remissionen von farbsummengleichen Pigmenten. Die harm. Koeffizienten obiger Kurve sind nur eine mögliche Lösung. Sie ergibt sich, durch wellenlängenbezogene Addition der 3 Farb(eich)werte s = x + y + z, was einer Art Remissionskurve entspricht. Die harm. Koeffizienten müssen so ermittelt werden, das die Fläche unter dieser Kurve Null wird.

∫ 380 760 β 1λ ⋅( x ¯ + y ¯ + z ¯ )⋅ E E ⋅dλ=0
∫ 380 760 β 1λ ⋅s⋅ E E ⋅dλ=0

Farbmomentgleiche Farben:
Das Farbmoment einer Farbe ergibt sich nach Luther aus einem Farbmoment M1=X-Y und einem Farbmoment M2=Y-Z als
M= M 1 2 + M 2 2
Wenn also die Differenzen bei M1 und M2 gleich bleiben, ist auch das Farbmoment gleich.Das ist die einfachste zu erfüllende Möglichkeit,farbmomentgleiche Farben zu bilden.In Wirklichkeit ist die Variationsmöglichkeit,wie sie durch die obige Gleichung gegeben ist,einzuhalten.  Das ist z.B. dann der Fall, wenn man zu den Farbwerten X,Y,Z die gleichen Beträge zu-oder abzieht. X1=50 ,Y1=30, Z1=10 M= 20 2 + 20 2 =28.3,
 bei X2=55 , Y2=35 , Z2=15
M= (55-35) 2 + (15-35) 2 =28.3 Man kann also im Sinne der vorstehenden Methode der Remissionsveränderung duch Addition (+/-) einer Graupigmentremission zu einer Farbpigmentremission farbmomentgleiche Farben erhalten. (z.B. das Grau 33: X=Y=Z=33.33 siehe Anfang des Artikels)
Farbänderung eines Pigmentes beim Wechsel der Normlichtart:
Auch hierfür kann das Verfahren der Anwendung der harmonischen Analyse benützt werden.
X 1 = ∫ 380 760 β⋅ x ¯ ⋅ E E ⋅dλ X 2 = ∫ 380 760 β⋅ x ¯ ⋅ E D65 ⋅dλ s λ = E D65 (λ): E E (λ) X 2 = ∫ 380 760 β⋅ s λ ⋅( x ¯ ⋅ E E )⋅dλ
Die Formeln behandeln das Beispiel des Rotreizbetrages X. In den Formeln bedeutet beta die Remission der Farbe, x den Eichreizbetrag Rotreiz, E die Strahlungsverteilung E oder D65 (Beleuchtung), s ist das Verhältnis der Strahlungsverteilungen D65 zu E und kann wie eine Remissionskurve aufgefaßt werden. (x*E) sind die tabellierten Produkte, die auch vorher schon immer verwendet wurden, da bisher alle Rechnungen auf die Lichtart E bezogen wurden. s gilt aber auch zur Ermittlung von Y und Z. Entsprechend ähnliche Remissionskurven s können auch zur Umrechnung in andere Lichtarten erstellt werden : Lichtart E in A, Lichtart D65 in D50, Lichtart E in D50, Lichtart E in C oder B usw. unter der Vorausetzung einer gegebenen Remission (Transmission).

Tabelle von 12 Schwarzpigmenten entsprechend den 12 fortschreitenden Ordinaten im Gebiet 380nm bis 760nm:
(Farbwerte X=Y=Z=0)
Harm Koeff. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
a0 0,08333 0,01772 0,08333 0,08333 0,08333 0,08333 0,08333 0,08333 0,08333 0,08333 0,08333 0,08333
a1 0,15839 0,06136 0,71457 0,33586 -0,15002 -0,09483 0,32175 0,64276 0,37529 0,10123 0,09401 0,1482
a2 0,14916 0,08333 1,20594 0,47056 -0,4662 -0,4301 0,39831 1,12089 0,59273 -0,01201 -0,06881 0,09146
a3 0,16667 0 -0,16667 0 0,16667 0 -0,16667 0 0,16667 0 -0,16667 0
a4 0,16667 -0,08333 -0,08333 0,16667 -0,08333 -0,08333 0,16667 -0,08333 -0,08333 0,16667 -0,08333 -0,08333
a5 0,16667 0,14434 0,08333 0 -0,08333 0,14434 -0,16667 0,14434 -0,08333 0 0,08333 -0,14434
a6 0,08333 -0,08333 0,08333 -0,08333 0,08333 -0,08333 0,08333 -0,08333 0,08333 -0,08333 0,08333 -0,08333













b1 -0,00163 0,09052 0,18639 0,08645 -0,134 -0,28947 -0,00823 0,33145 0,15019 -0,10107 -0,1363 -0,08222
b2 0 0,14434 0,14434 0 -0,14434 -0,14434 0 0,14434 0,14434 0 -0,14434 -0,14434
b3 0 0,16667 0 -0,16667 0 0,16667 0 -0,16667 0 0,16667 0 -0,16667
b4 0 0,14434 -0,14434 0 0,14434 -0,14434 0 0,14434 -0,14434 0 0,14434 -0,14434
b5 0 0,08333 0,14434 0,16667 -0,14434 0,08333 0 -0,08333 0,14434 -0,16667 0,14434 -0,08333

Es folgt die Abbildung dieser 12 Kurven:
12 Unechtschwarzremissionen
Die Kurven kommen dadurch zustande,daß die 12 Ordinaten im Bereich 380nm - 760nm nacheinander 1 gesetzt werden, die übrigen Ordinaten Null sind. Diese Wertesetzung kann die harmonische Analyse mit 12 Koeffizienten nicht exakt erfüllen, sondern errechnet eine Kurve mit dem kleinsten mittleren Fehler. Die Tabelle der Koeffizienten zeigt wenige verschiedene +/- Werte: z.B. ist 0.16667= 1/6 ,  0.08333= 1/12 , 0.14434= 1/12*3^1/2.

(wird fortgesetzt)