Um als Messverfahren das Helligkeitsverfahren mit Lichtfiltern anwenden zu können,müssen diese Messfilter eine bestimmte
spektrale Durchlässigkeit haben.Diese Durchlässigkeit ist in den nachfolgenden Formeln das s.
x(l),y(l),z(l) beinhalten die Eichwerte bezüglich 3er Eichreize, auf die sich die Messung beziehen soll. Im allgemeinen sind
das die virtuellen Eichreize X,Y,Z. Wenn die Messung nicht mit einem Sensor,Lichtempfänger o.ä.,sondern durch einen Beobachter
erfolgen soll, ist V die spektrale Hellempfindlichkeit des Auges. k ist eine wellenlängenunabhängige Konstante.
Die Lutherbedingung:
$${s_x}(\lambda ) = {k_x} \cdot \frac{{{{\bar x}_\lambda }}}{{{V_\lambda }}}$$ \[{s_y}(\lambda ) = {k_y} \cdot \frac{{{{\bar y}_\lambda }}}{{{V_\lambda }}}\] \[{s_z}(\lambda ) = {k_z} \cdot \frac{{{{\bar z}_\lambda }}}{{{V_\lambda }}}\]Um Farbmessung auf diese Weise auszuführen,ist für jeden Eichreiz mindestens ein Lichtfilter erforderlich. Es ist natürlich klar,daß man nicht jedes Lichtfilter verwenden kann. Für die Messung von Z des Prüflings sollte die Durchlässigkeit des Filters im Blaubereich liegen. Eine Auswahl ergibt sich mit den Durchlässigkeitskurven der vorhandenen Filter. Für die vorliegende Rechnung habe ich ein "blaues" Filter ausgewählt (Farbe B2DCE9).
Die beiden anderen Filter müssen die Ermittlung von X und Y zulassen. Erst dann kann für den Prüfling P eine Farbgleichung aufgestellt werden
\[P = {a_x} \cdot X + {a_y} \cdot Y + {a_z} \cdot Z\]Die Lutherbedingung kann mehrfach umgestellt werden,entsprechend der Fragestellung.Zum Beispiel kann man das Filter so wählen, daß das Messergebnis auf ein anderes Licht bezogen wird, statt auf das Arbeitslicht. Um die Anpassung der Filterdurchlässigkeit an die Lutherbedingung (Eichreizkurven) zu verbessern, kann man auch mehrere Filter mit engerem Durchlaßgebiet verwenden. Die Lutherbedingung hat dann die Form:
Bedingung für Rotfiltersatz $$\sum\limits_T {{a_T} \cdot {s_T}(\lambda ) = k \cdot \frac{{{{\bar x}_\lambda }}}{{{V_\lambda }}}} $$
Diese Sache ist deshalb wichtig, weil die Einhaltung der Lutherbedingung durch ein Filter fast nicht möglich ist. Das verwendete Filter müßte eigentlich mit der entsprechenden Eichreizkurve eine gleichlaufende Durchlässigkeit haben. Es gibt aber eine andere Möglichkeit. Man betrachtet die Filterdurchlässigkeit, als wäre sie ein Eichreiz z.B A. Die beiden anderen Filter haben die Eichreize B und C. Es gibt dann 3 Farbgleichungen zur Umrechnung von A,B,C in X,Y,Z.
\[\begin{array}{l} X = {a_x} \cdot A + {b_x} \cdot B + {c_x} \cdot C\\ Y = {a_y} \cdot A + {b_y} \cdot B + {c_y} \cdot C\\ Z = {a_z} \cdot A + {b_z} \cdot B + {c_z} \cdot C \end{array}\]
Im Normsystem hat ein Farbreiz die Gleichung:
\[L = \bar x \cdot X + \bar y \cdot Y + \bar z \cdot Z\]
Im System A,B,C hat dann L durch Einsetzen und Umformem folgenden Form:
\[L = ({a_x} \cdot \bar x + {a_y} \cdot \bar y + {a_z} \cdot \bar z) \cdot A + ({b_x} \cdot \bar x + {b_y} \cdot \bar y + {b_z} \cdot \bar z) \cdot B + ({c_x} \cdot \bar x + {c_y} \cdot \bar y + {c_z} \cdot \bar z) \cdot C\]
Die Lutherbedingung bezogen auf den Rotreiz A:
\[{s_A}(\lambda ) = {k_A} \cdot \frac{{{a_x} \cdot \bar x + {a_y} \cdot \bar y + {a_z} \cdot \bar z}}{{{V_\lambda }}}\]
\[\begin{array}{l} {s_A}(\lambda ) \cdot {V_\lambda } = {k_A} \cdot ({a_x} \cdot \bar x + {a_y} \cdot \bar y + {a_z} \cdot \bar z)\\ {s_\lambda } \cdot {V_\lambda } = {a_x} \cdot \bar x + {a_y} \cdot \bar y + {a_z} \cdot \bar z \end{array}\]
Methode 1:
Zur Ermittlung der 3 a-Faktoren werden 3 Gleichungen gebraucht.Man sucht sich 3 Stellen der Transmissionskurve . Ich habe die Punkte bei 440nm,550nm und 660nm ausgesucht.Die Transmissionen des Filters habe ich graphisch ermittelt. Es ist nicht beabsichtigt,das Ergebnis für ein wirklich vorliegendes Filter zu berechnen.Es wird angenommen,das Filter hätte die gegebene Transmission.
Transmissionswerte:
Data.f 380,0.562
Data.f 385,0.609
Data.f 390,0.656
Data.f 395,0.700
Data.f 400,0.741
Data.f 405,0.778
Data.f 410,0.809
Data.f 415,0.835
Data.f 420,0.854
Data.f 425,0.866
Data.f 430,0.873
Data.f 435,0.875
Data.f 440,0.876
Data.f 445,0.876
Data.f 450,0.876
Data.f 455,0.876
Data.f 460,0.875
Data.f 465,0.873
Data.f 470,0.871
Data.f 475,0.868
Data.f 480,0.865
Data.f 485,0.861
Data.f 490,0.857
Data.f 495,0.853
Data.f 500,0.847
Data.f 505,0.840
Data.f 510,0.832
Data.f 515,0.823
Data.f 520,0.813
Data.f 525,0.802
Data.f 530,0.789
Data.f 535,0.777
Data.f 540,0.764
Data.f 545,0.751
Data.f 550,0.738
Data.f 555,0.724
Data.f 560,0.708
Data.f 565,0.690
Data.f 570,0.669
Data.f 575,0.645
Data.f 580,0.618
Data.f 585,0.587
Data.f 590,0.555
Data.f 595,0.523
Data.f 600,0.494
Data.f 605,0.470
Data.f 610,0.450
Data.f 615,0.432
Data.f 620,0.416
Data.f 625,0.399
Data.f 630,0.383
Data.f 635,0.365
Data.f 640,0.348
Data.f 645,0.330
Data.f 650,0.313
Data.f 655,0.296
Data.f 660,0.281
Data.f 665,0.268
Data.f 670,0.256
Data.f 675,0.246
Data.f 680,0.236
Data.f 685,0.227
Data.f 690,0.218
Data.f 695,0.210
Data.f 700,0.202
Data.f 705,0.195
Data.f 710,0.189
Data.f 715,0.184
Data.f 720,0.179
Data.f 725,0.174
Data.f 730,0.170
Data.f 735,0.166
Data.f 740,0.162
Data.f 745,0.159
Data.f 750,0.157
Data.f 755,0.155
Data.f 760,0.153
Filterfarbe nach der Transmission berechnet:
Tabelle der Transmission bei den gewählten Punkten:
| 440 | 0.876 |
| 550 | 0.738 |
| 660 | 0.281 |
Tabellenwerte Eichreizkurven
| lambda | x | y | z |
| 440 | 0.3483 | 0.0230 | 1.7471 |
| 550 | 0.4334 | 0.9950 | 0.0087 |
| 660 | 0.1649 | 0.0610 | 0.0000 |
Daraus ergeben sich folgende 3 Gleichungen:
0.876 * 0.0230 = a1 * 0.3483 + a2 * 0.0230 + a3 *1.7471
0.738 * 0.9950 = a1 * 0.4334 + a2 * 0.9950 + a3 *0.0087
0.281 * 0.0610 = a1 * 0.1649 + a2 * 0.0610 + a3 *0.0000
Lösung der Gleichungen:
{a1 = -0.2013683452, a2 = 0.8253547562, a3 = 0.04081130745}
<Mit diesen Koeffizienten kann jetzt die erforderliche Filtertransmission nach Luther berechnet werden. Für den Bereich von 380nm bis 760nm ergibt sich folgende Transmissionsliste:
380 , -1.479
385 , 0.431
390 , 0.573
395 , 0.561
400 , 0.543
405 , 0.564
410 , 0.579
415 , 0.610
420 , 0.646
425 , 0.709
430 , 0.772
435 , 0.831
440 , 0.876 1.Punkt
445 , 0.914
450 , 0.947
455 , 0.971
460 , 0.985
465 , 0.985
470 , 0.970
475 , 0.949
480 , 0.926
485 , 0.905
490 , 0.886
495 , 0.870
500 , 0.857
505 , 0.845
510 , 0.834
515 , 0.823
520 , 0.812
525 , 0.800
530 , 0.789
535 , 0.777
540 , 0.765
545 , 0.752
550 , 0.738 2.Punkt
555 , 0.722
560 , 0.705
565 , 0.686
570 , 0.664
575 , 0.640
580 , 0.613
585 , 0.584
590 , 0.552
595 , 0.519
600 , 0.486
605 , 0.454
610 , 0.424
615 , 0.397
620 , 0.374
625 , 0.354
630 , 0.337
635 , 0.322
640 , 0.310
645 , 0.300
650 , 0.292
655 , 0.286
660 , 0.281 3.Punkt
665 , 0.278
670 , 0.275
675 , 0.273
680 , 0.271
685 , 0.269
690 , 0.268
695 , 0.267
700 , 0.265
705 , 0.263
710 , 0.269
715 , 0.275
720 , 0.241
725 , 0.251
730 , 0.296
735 , 0.321
740 , 0.354
745 , 0.340
750 , 0.301
755 , 0.221
760 , 0.080
Bei den zugrunde liegenden Wellen (440nm, 550nm, 660nm) ergeben sich die vorausgesetzten Transmissionen, sonst würde ein Rechenfehler vorliegen. Die folgende Abbildung stellt den Vergleich der Transmission des Filters mit der errechneten Transmission dar, wie sie sein müsste, daß dieses Filter zur Farbmessung geeignet ist.
Das Filter müßte die Remmion des roten Verlaufes haben, um als Messfilter verwendet zu werden.
Methode 2:
Zur Ermittlung der 3 a-Faktoren kann auch die Methode der kleinsten Quadrate angewendet werden. Dazu ist aber eine umfangreiche Rechnung der benötigten Summen erforderlich. In diesem Falle wird der gesamte Transmissionsverlauf des Filter verwendet.Ich gebe hier nur das Ergebnis an.
\[\begin{array}{l} \sum {\bar x \cdot \bar x} = \left[ {\bar x\bar x} \right] = 315.15063\\ \sum {\bar x \cdot \bar y} = \left[ {\bar x\bar y} \right] = 248.12884\\ \sum {\bar x \cdot \bar z} = \left[ {\bar x\bar z} \right] = 112.20407\\ \sum {\bar y \cdot \bar y} = \left[ {\bar y\bar y} \right] = 338.07693\\ \sum {\bar y \cdot \bar z} = \left[ {\bar y\bar z} \right] = 37.24046\\ \sum {\bar z \cdot \bar z} = \left[ {\bar z\bar z} \right] = 614.75415 \end{array}\]
\[\begin{array}{l} \sum {\bar x \cdot V \cdot s} = \left[ {\bar x \cdot \bar y \cdot s} \right] = 148.04059\\ \sum {\bar y \cdot V \cdot s} = \left[ {\bar y \cdot \bar y \cdot s} \right] = 231.77762\\ \sum {\bar z \cdot V \cdot s} = \left[ {\bar z \cdot \bar y \cdot s} \right] = 31.65926 \end{array}\]
\[\begin{array}{l} \left[ {\bar x \cdot V \cdot s} \right] = {a_1}\left[ {\bar x\bar x} \right] + {a_2}\left[ {\bar x\bar y} \right] + {a_3}\left[ {\bar x\bar z} \right]\\ \left[ {\bar y \cdot V \cdot s} \right] = {a_1}\left[ {\bar x\bar y} \right] + {a_2}\left[ {\bar y\bar y} \right] + {a_3}\left[ {\bar y\bar z} \right]\\ \left[ {\bar z \cdot V \cdot s} \right] = {a_1}\left[ {\bar x\bar z} \right] + {a_2}\left[ {\bar y\bar z} \right] + {a_3}\left[ {\bar z\bar z} \right] \end{array}\]
Rechenergebnis a1...a3:
{a1 = -0.1890627088, a2 = 0.8203376762, a3 = 0.03631226662}
mit diesen Faktoren ergibt sich der nachfolgende Transmissionsverlauf:
380 , -2.850
385 , -0.129
390 , 0.182
395 , 0.211
400 , 0.202
405 , 0.243
410 , 0.242
415 , 0.280
420 , 0.329
425 , 0.426
430 , 0.531
435 , 0.631
440 , 0.716
445 , 0.784
450 , 0.841
455 , 0.884
460 , 0.914
465 , 0.929
470 , 0.928
475 , 0.918
480 , 0.903
485 , 0.888
490 , 0.872
495 , 0.859
500 , 0.848
505 , 0.838
510 , 0.828
515 , 0.818
520 , 0.807
525 , 0.797
530 , 0.786
535 , 0.775
540 , 0.764
545 , 0.751
550 , 0.738
555 , 0.724
560 , 0.708
565 , 0.689
570 , 0.669
575 , 0.646
580 , 0.621
585 , 0.594
590 , 0.564
595 , 0.533
600 , 0.502
605 , 0.472
610 , 0.444
615 , 0.418
620 , 0.396
625 , 0.378
630 , 0.362
635 , 0.348
640 , 0.336
645 , 0.327
650 , 0.319
655 , 0.314
660 , 0.309
665 , 0.307
670 , 0.304
675 , 0.302
680 , 0.300
685 , 0.298
690 , 0.297
695 , 0.296
700 , 0.295
705 , 0.292
710 , 0.298
715 , 0.304
720 , 0.272
725 , 0.281
730 , 0.323
735 , 0.347
740 , 0.377
745 , 0.364
750 , 0.328
755 , 0.253
760 , 0.121
Die obige Abbildung stellt den Vergleich der Transmission des Filters mit der nach Methode 1 und Methode 2 errechneten Transmission dar, wie sie sein müsste, daß dieses Filter zur Farbmessung geeignet ist.Die grüne Kurve ist durch Methode 2 (Fehlerrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate) entstanden.
Die Rechenmethoden 1 und 2 geben ähnliche Faktoren aus.Bei der 2.Methode wird über den ganzen Transmissionsverlauf alle 5nm die Transmission berücksichtigt und die 3 Faktoren a1...a3 nach der Methode der kleinsten Fehlerquadratsumme ermittelt. Das müsste das beste Ergebnis hervorbringen,aber es werden auch die Enden des Spektrums gleichwertig einbezogen. Das Rechenergebnis nach Methode 1 ist sehr von der Wahl der Stützstellen abhängig und man kann sich dabei vertun. Die nachfolgende Abbildung zeigt den Vergleich 2er nach der 1. Methode ermittelten Transmissionen im Vergleich zum Filter. Im 2. Fall wurden die Transmissionen bei 410,540,660 nm angenommen.Wenn man den Bereich 400nm bis 700nm betrachtet,könnte man das Filter zur Farbmessung verwenden.Ich sage das deshalb, weil in älteren Publikationen meist die Farbwerte von 400 bis 700nm integriert/Summiert werden.
Wenn die 3 Faktoren a1...a3 der Methode 1 offensichtlich nicht zu einer guten Anpassung führen, kann man zuerst eine Fehlerrechnung erstellen. Bei den gleichen Wellenlängen werden Transmission Methode 1 minus Transmission Filter berechnet und diese Differenzen als Kurve dargestellt. An 3 Maxima/Minima der Kurve wird die Stelle (nm) abgelesen. Für diese 3 Transmissionsstellen wird das Verfahren der Methode 1 wiederholt. Dadurch werden diese Maxima/Minima in der neuen Fehlerkurve zu Null. Die sich durch die 3 neuen a1...a3 ergebenen Transmissionskurve kann zu einer besseren Anpasssung an die Filtertransmission führen.
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