Hartmann Interpolation

Näherungsfunktionen vom Typ der Hartmannschen Dispersionsformel für Bereiche vorgelegter Funktionen

Die Hartmannsche Dispersionsformel hat 3 Parameter, sodaß die Ersatzfunktion für die Stelle der anzunähernden Funktion äußert schmiegsam sein kann. Die Hartmannsche Formel hat wie schon bemerkt die Form:

n = n_{0} + \frac{c}{(x - x_{0})}

in anderer Form geschrieben:

f (x) = y = \frac{a \cdot x + b}{x + d}

Das Bestimmungssystem für die 3 Parameter a,b,d ist unter Verwendung der 1. und 2. Ableitung der Funktion f(x) an der Stelle x

d = - \frac{2 \cdot f^{'} (x_{0})}{f^{''} (x_{0})} - x_{0}

a = f^{'} (x_{0}) \cdot (x_{0} + d) + f (x_{0})

$b = f (x_{0}) \cdot (x_{0} + d) - a \cdot x_{0}$

Beispiellösung für die Funktion sin(x) bei x=Pi/4:

d = 2 \cdot \cot \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = 1.214602

a = 2 \cdot \cos \frac{π}{4} + \sin \frac{π}{4} = 2.121320

b = - 0.251868

Ergebnis der Annäherung:

\sin (\frac{π}{4} + Θ) = \frac{2.12132 \cdot (\frac{π}{4} + Θ) - 0.251868}{Θ + 2} \to \sqrt{2} \cdot \frac{1.5 \cdot Θ + 1}{Θ + 2}