Auf einer anderen
Webseite wurde die Ebenentransformation beschrieben. Sie versetzt
uns in die Lage, Verformungen an den in der Ebene dargestellten
Geometrien vorzunehmen. Dabei werden 4 Punkte der
Ausgangsebene, von denen 3 nicht auf einer Geraden liegen dürfen, in
4 Endlagen der Bildebene gebracht. Die Möglichkeiten, die sich
daraus ergeben, scheinen zum jetzigen Zeitpunkt weniger bekannt zu
sein. Ein großer Teil dieser Abbildungen wurde in Blütezeit der
Nomografie angewendet. So wurden Schnittverhältnisse zwischen
Geraden in den Nomogrammen verbessert oder aber auch z.B. die Grafik auf einem
A4-Blatt darstellbar gemacht. Bei der Ebenentransformation gibt es
Punkte und Geraden, die die Transformation unberührt läßt, sie in
ihren Koordinaten invariant sind. Eine Fragestellung nach diesen
Punkten und Geraden könnte sich für Ebenentransformationen ergeben,
die man nicht selbst berechnet hat, sondern die festgelegt sind. Ich
möchte das an einem Beispiel darstellen. Die Frage ist: Welche
Punkte und Geraden läßt die Farbtafeltransformation CIE nach McAdam
invariant?
Die Formeln der Ebenentransformation sind:
\[\xi = \frac{{{a_{11}}x + {a_{12}}y + {a_{13}}}}{{{a_{31}}x + {a_{32}}y + 1}}\]nach Kürzung durch a33. (siehe unten v). Damit die Auflösung des Systems nach x und y möglich ist, muß die Determinante
\[\left| a \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&1 \end{array}} \right|\]von Null verschieden sein.
\[\nu = {a_{31}} \cdot x + {a_{32}} \cdot y + {a_{33}}\]Bei Invarianz gilt:
\[\begin{array}{*{20}{l}} {x = \xi }\\ {y = \eta } \end{array}\]Dadurch ergeben sich die Gleichungen:
\[\begin{array}{*{20}{l}} {{a_{11}}x + {a_{12}}y + {a_{13}} = \nu x}\\ {{a_{21}}x + {a_{22}}y + {a_{23}} = \nu y}\\ {{a_{31}}x + {a_{32}}y + {a_{33}} = \nu } \end{array}\]oder:
\[\begin{array}{*{20}{l}} {x({a_{11}} - \nu ) + y \cdot {a_{12}} + {a_{13}} = 0}\\ {x \cdot {a_{21}} + y \cdot ({a_{22}} - \nu ) + {a_{23}} = 0}\\ {x \cdot {a_{31}} + y \cdot {a_{32}} + ({a_{33}} - \nu ) = 0} \end{array}\]Das Gleichungssystem lautet in Determinantenschreibweise:
\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}} - \nu }&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}} - \nu }&{{a_{23}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}} - \nu } \end{array}} \right| = 0\]Das ergibt eine kubische Gleichung nach v mit mindestens einer reellen endlichen Lösung, gegebenenfalls 3 reelen Lösungen.
Beispiel McAdam-Farbtafel:DieEbenentransformationsformeln lauten für den Übergang von der IBK-ebene zur McAdam-ebene
\[\xi = \frac{{\frac{2}{3}x}}{{ - \frac{1}{3}x + 2y + \frac{1}{2}}} = \frac{{\frac{4}{3}x}}{{ - \frac{2}{3}x + 4y + 1}}\] \[\eta = \frac{y}{{ - \frac{1}{3}x + 2y + \frac{1}{2}}} = \frac{{2y}}{{ - \frac{2}{3}x + 4y + 1}}\]Für invariante Punkte ergibt sich die Bestimmungsgleichung:
\[{\nu ^3} - \frac{{195}}{{90}}{\nu ^2} + \frac{3}{2}\nu - \frac{1}{3} = 0\]mit den Lösungen:
\[\begin{array}{*{20}{l}} {{\nu _1} = 1}\\ {{\nu _2} = 0.5}\\ {{\nu _3} = \frac{2}{3}} \end{array}\]Daraus ergeben sich die festbleibenden (invarianten) Punkte: >
\[\begin{array}{*{20}{l}} {{P_1}:(0,\frac{1}{4})}\\ {{P_2}:(0,0)}\\ {{P_3}:( - \frac{1}{2},0)} \end{array}\]Für invariante Geraden ergibt sich als allgemeine Gleichung: g = ux + vy + 1 = 0
Soll die Gerade g invariant bleiben, so müssen die Koordinaten U,V der Bildgeraden gleich u,v sein:
\[U = u = \frac{{{A_{11}}u + {A_{12}}v + {A_{13}}}}{{{A_{31}}u + {A_{32}}v + {A_{33}}}}\] \[V = v = \frac{{{A_{21}}u + {A_{22}}v + {A_{23}}}}{{{A_{31}}u + {A_{32}}v + {A_{33}}}}\]Analog wie oben ergibt sich das folgende Bestimmungssystem:
Für die invarianten Geraden des McAdam-Beispiels ergibt sich die Gleichung:
mit der Lösung: v = 1.908848852
>Daraus ergibt sich eine festbleibende (invarianten) Gerade:
mit der Lösung: u=2 ; v=-4
\[2 \cdot x - 4 \cdot y + 1 = 0\] \[2 \cdot x + 1 = 4 \cdot y\] \[y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\]