Berechnung der Lage der Ostwaldfarben in der CIE-Farbtafel

Der Verlauf der Berechnung wird an einem Beispiel durchgeführt. Es soll der Farbort der Ostwaldfarbe 1pa in der CIE-IBK-Farbtafel bestimmt werden. Der Farbton 1 des Ostwaldfarbkreises entspricht der Wellenlänge 573.2nm. Die zugehörige Vollfarbe (Optimalfarbe Normlicht E) hat folgende Werte:

Xv = 83.48
Yv = 94.54
Zv = 5.83
Das Farbmoment beträgt Mv =89.40

Der Vollfarbenpunkt in der Farbtafel liegt bei
xv = 0.4541
yv = 0.5142

Die gesuchte Farbe 1pa hat einen Weissanteil w = 0.0355 und
einen Schwarzanteil s = 0.1089

Der Vollfarbenanteil beträgt
v = 1 -w -s
v = 1- 0.0355 - 0.1089 = 0.8557

Das Farbmoment von 1pa ist
Mf = v * Mv
Mf = 0.8557 * 89.4 = 76.50

Für den Hellbezugswert A (=Yf) gilt die Formel:

Yf = 100 * w + v * Yv

Yf = 3.55 + 0.8557 * 94.54 = 84.45

Es wird weiterhin eine Farbtafel mit Mittelpunktvalenz E vorausgesetzt.
Damit liegt der Weisspunkt bei x=0.3333, y=0.3333

Aus xv und yv und dem Weisspunkt ergibt sich eine Gerade, auf der sämtliche Ostwaldfarben mit Farbton 573.2nm liegen.

yv = a * xv + b und
0.3333 = 0.3333 * a  +  b
Es ist dann:

\[ a = \frac{{y_v - \frac{1}{3}}}{{x_v - \frac{1}{3}}} = \frac{{0.5142 - 0.3333}}{{0.4541 - 0.3333}} = \frac{{0.1809}}{{0.1208}} = 1.4975 \]
\[ b = y_v - a \cdot x_v \]\[ b = y_v - a \cdot x_v = 0.5142 - 1.4975 \cdot 0.4541 = - 0.1658 \]

                                                                                               Die weitere Ableitung des Rechenganges :

 Das Farbmoment der Ostwaldfarbe ist:

\[ M_{^F }^2 = (X_F - Y_F )^2 + (Z_F - Y_F )^2 \]
\[ \begin{array}{l} X_F = x_F \cdot S \\ Y_F = y_F \cdot S \\ Z_F = z_F \cdot S \\ \end{array} \]
wobei
\[ \begin{array}{l} S = X_F + Y_F + Z_F \\ \\ \end{array} \]
\[ M^2 = (S \cdot x - S \cdot y)^2 + (S \cdot z - S \cdot y)^2 \] \[ M^2 = S^2 \cdot (x^2 - 2xy + 2y^2 + z^2 - 2yz)^{} \] \[ \frac{{M^2 }}{{S^2 }} = x^2 - 2xy + 2y^2 + z^2 - 2yz \] \[ \frac{{M^2 }}{{Y^2 }} \cdot y^2 = x^2 - 2xy + 2y^2 + z^2 - 2yz \] \[ m = \frac{{M_F^2 }}{{Y_F^2 }} = \frac{{76.50^2 }}{{84.45^2 }} = 0.8206 \] \[ m \cdot y^2 = 2x^2 + 2xy + 5y^2 - 2x - 4y + 1 \] mit \[ y = a \cdot x + b \] und \[ z = 1 - x - y \] \[ 0 = 2x^2 + 2ax^2 + 2bx + 5a^2 x^2 + 10abx + 5b^2 + 1 - 2x - 4ax - 4b - ma^2 x^2 - 2mabx - mb^2 \] \[ 0 = (2 + 2a + 5a^2 - ma^2 ) \cdot x^2 + (2b + 10ab - 2 - 4a - 2mab) \cdot x + (5b^2 + 1 - 4b - mb^2 ) \] Division durch
\[ 2 + 2a + 5a^2 - ma^2 \]
ergibt die quadratische Gleichung
\[ x^2 + p \cdot x + q = 0 \] Es ergeben sich 2 Lösungen für x und wegen y = ax +b auch für y. Von diesen 2 möglichen Punkten (x,y) in der Farbebene ist aber nur der gültig, der auf der richtigen  Seite der Geraden  zwischen Weisspunkt und Vollfarbe liegt.
     
Die Farbwerte der Farbe 1pa sind damit:
\[ \begin{array}{l} x_F = 0.4464 \\ y_F = 0.5028 \\ \end{array} \] \[ \begin{array}{l} X_F = 74.99 \\ Y_F = 84.45 \\ Z_F = 8.54 \\ \end{array} \]